L'aventure des nombres entiers & La quête de l'infini en mathématiques

Responsable: Dominique Arlettaz (Professeur UNIL)

Semestre: Automne 2020
Horaire: Vendredi 8h30 à 10h00
Salle de cours: 
Nombre d'heures: 28

Modalité du cours-séminaire : Enseignement en présentiel

Objectif

• Comprendre le premier outil - et le plus simple - indispensable à toute démarche scientifique : la notion de nombre entier qui a permis depuis l'origine de l'humanité de compter, de numéroter et de classer
• Prendre la mesure de l'ampleur et de la diversité des mathématiques et des innombrables liens entre les différents domaines des mathématiques
• Exercer sa curiosité avec des problèmes que l'on peut formuler de manière très simple mais dont la solution peut s'avérer extrêmement compliquée, voire inconnue à ce jour
• Découvrir certaines notions de base des mathématiques et comprendre des raisonnements matématiques simples mais rigoureux, qui permettent de démontrer quelques théorèmes mathématiques fondamentaux
• Constater le fait que les progrès majeurs en mathématiques sont toujours le fruit d'une collaboration de plusieur·e·s chercheurs·euses et font appel à de nombreuses notions mathématiques
• Suivre l'évolution historique d'un des grands problèmes mathématiques, la résolution de la Conjecture de Fermat, qui a tenu en haleine le monde des mathématiciens·iennes pendant plus de trois siècles, jusqu'à son dénouenement en 1995.

 Contenu

Le cours sera composé de quatres chapitres :

• Les nombres premiers : le premier chapitre présente les ensembles de nombres, la définition des nombres premiers, les principales propriétés des nombres premiers, ainsi qu'une application à la théorie du codage.
• Le dernier théorème de Fermat - première partie :  le deuxième chapitre introduit les triangles pythagoriciens, expose l'énoncé du dernier théorème de Fermat (1637), décrit les premiers pas de sa démonstration et explique complètement la preuve du cas de l'exposant n=4.
• Les nombres complexes : le troisième chapitre présente la définition des nombres complexes et du plan de Gauss, la résolution de certaines équations complexes, les entiers de Gauss et la fonction expondentielle complexe.
• Le dernier théorème de Fermat - seconde partie : le dernier chapitre présente l'histoire de la résolution du dernier théorème de Fermat (énoncé en 1637 par Pierre de Fermat et démontré en 1995 par Andrew Wiles) et permet de suivre - comme dans un roman policier - les innombrables efforts qui ont été déployés à travers les sciècles pour arriver à élucider ce mystère.

Prérequis

Aucun, si ce n'est les connaissances de base en mathématiques correspondant au niveau de la maturité gymnasiale.
Ce cours peut être suivi de manière complètement indépendante du second enseignement de mathématiques donné dans le cadre du programme "Sciences au carré" au semestre de printemps.

Mode d'évaluation

- Contrôle continu sous la forme de deux tests de connaissance (60 minutes)
- Un exposé de séminaire portant sur le compte-rendu de la lecture d'un chapitre d'un ouvrage en lien avec le sujet du cours ou sur tout autre sujet déterminé d'entente entre l'étudiant·e et l'enseignant.

NB: Les crédits correspondants à cet enseignement ne peuvent pas être validés pour les étudiant·e·s de FGSE (automne et printemps)

Semestre: Printemps 2021
Horaire: Vendredi 10h15 à 12h00
Salle de cours:  
Nombre d'heures: 28

Modalité du cours: Enseignement à distance

Objectif

• Se familiariser avec les notions d'infini, de limites, de continuité et de divisibilité, et comprendre certains de leurs liens,
• Prendre conscience que ces notions apparaissent dans de nombreux domaines des mathématiques,
• Comparer la taille de certains ensembles infinis et découvrir la notion d'infini dénombrable,
• Constater que les raisonnements infinitésimaux sont la base du calcul différentiel et intégral,
• Comprendre l'importance qu'a joué le concept de série (c'est-à-dire de limite d'une suite de sommes comprenant toujours plus de termes) dans le développement des mathématiques, des origines à nos jours, notamment pour approximer certaines fonctions ou pour résoudre certaines équations aux dérivées partielles,
• Découvrir les objets algébriques les plus simples que sont les groupes abéliens et certaines de leurs particularités,
• Explorer la notion de divisibilité dans les groupes abéliens,
• Définir la notion de limite (directe) en théorie des groupes abéliens,
• Exercer sa curiosité avec des notions algébriques simples qui permettent d'illustrer des problèmes très surprenants ; en particulier découvrir des exemples d'affirmations qui ne sont pas vraisemblables mais qui sont vraies.

Contenu

Le cours sera composé de cinq chapitres :

• Éléments de théorie des ensembles et de théories des nombres. L'idée d'infini apparaît dès que l'on compte à l'aide de l'ensemble des nombres entiers positifs, mais les premières surprises arrivent lorsque l'on pense à deux ensembles de nombres qui ont la même taille, mais dont l'un est une partie de l'autre, ou lorsque l'on compare les ensembles des nombres entiers, des nombres rationnels et des nombres réels, à la lumière de la notion d'un ensemble infini dénombrable.
• Les fondements du calcul différentiel et intégral. Pour apprécier la quête de l'infini en mathématiques, il faut comprendre en profondeur la notion de limite d'une fonction (ou d'une suite) qui est au cœur de la découverte du calcul différentiel et intégral. Cela permet de traiter des exemples étonnants d'intégrales impropres.
• Les séries. Les développements du calcul différentiel et intégral ont été construits sur la notion d'infiniment petit et sur le concept de séries. L'objectif est de définir les séries et de montrer à quel point elles sont devenues un outil extrêmement puissant pour explorer de nombreuses autres notions mathématiques et pour résoudre plusieurs grands problèmes scientifiques. Cela est illustré par les séries de Taylor, qui fournissent d'excellentes approximations de nombres ou de fonctions, et par les séries de Fourier dont l'utilité est illustrée par la résolution de l'équation de la chaleur.
• La théorie des groupes abéliens. La notion algébrique la plus simple est celle de groupe abélien. Il s'agit de découvrir les bases de cette théorie et d'exercer sa curiosité en observant des groupes abéliens très simples qui possèdent des propriétés étranges en matière de divisibilité.
• La limite directe en théorie des groupes abéliens. La construction de la limite directe d'un système direct de groupes abéliens permet de construire de nouveaux groupes abéliens (très grands) et d'y découvrir des phénomènes vraiment surprenants.

Prérequis

Aucun, si ce n'est les connaissances de base en mathématiques correspondant au niveau de la maturité gymnasiale.
Ce cours peut être suivi de manière complètement indépendante de l'enseignement de mathématiques donné dans le cadre du programme "Sciences au carré" au semestre d'automne et consacré à "L'aventure des nombres entiers".

Mode d'évaluation

Contrôle continu sous la forme de deux tests de connaissance (60 minutes)
 

NB: Les crédits correspondants à cet enseignement ne peuvent pas être validés pour les étudiant·e·s de FGSE (automne et printemps)

Les étudiant·e·s de la faculté des HEC qui désirent suivre un enseignement Sciences au carré doivent s'inscrire auprès de leur faculté et informer par mail le secrétariat du Collège des Sciences à l'adresse : cecile.roy@unil.ch

ATTENTION : L'information par mail ne fait pas office d'inscription!